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【幾何光学】前方/後方 被写界深度の導出など

事象発生日:2017-08-29

記事公開日:2017-08-29

アクセス数:9906

」の「」の続き.

さて,今回は被写界深度の式やボケ量の式を導出しよう.

この記事は書きかけです!!

暇な時にちまちま書いていきます....

1.はじめに

」の「」では,F値,露光などの関係式を導出した.

次は被写界深度の式やボケ量の式を導出しよう.

2.被写界深度(DOF)

被写界深度(DOF)とは,ピントの合ってるようにみえる範囲のことである.これを導出する.

文字定義

下図のように文字を定義する.

 

\begin{array}{ccl} \rm{DOF} & : & \text{被写界深度} \\ s & : & \text{被写体距離} \\ \nu & : & \text{レンズ - 撮像素子距離} \\ s - s_{\rm{N}} & : & \text{前方被写界深度} \\ s_{\rm{F}} - s & : & \text{後方被写界深度} \\ \nu_{\rm{N}} - \nu_{\rm{F}} & : & \text{焦点深度} \\ c & : & \text{許容錯乱円直径} \\ D & : & \text{有効口径} \end{array}

関係式導出

とりあえず,手当たり次第使えそうな関係式を幾何的に求めていく.

まずはレンズ公式.

\begin{alignat*}{2} \frac{1}{s} & + & \frac{1}{\nu} & = \frac{1}{f} \tag{2-1} \\ \frac{1}{s_{\rm{N}}} & + & \frac{1}{\nu_{\rm{N}}} & = \frac{1}{f} \tag{2-2} \\ \frac{1}{s_{\rm{F}}} & + & \frac{1}{\nu_{\rm{F}}} & = \frac{1}{f} \tag{2-3} \end{alignat*}

さらに,三角形の相似より,

\begin{alignat*}{1} \frac{\nu_{\rm{N}} - \nu}{\nu_{\rm{N}}} & = \frac{c}{D} \tag{2-4} \\ \frac{\nu - \nu_{\rm{F}}}{\nu_{\rm{F}}} & = \frac{c}{D} \tag{2-5} \end{alignat*}

を得る.

被写界深度の前端,後端距離

(2-4),(2-5)を,それぞれ\(\nu_{\rm{N}}, \nu_{\rm{F}}\)について解くと,

\begin{alignat*}{1} \nu_{\rm{N}} & = \frac{D}{D-c} \nu \tag{2-6} \\ \nu_{\rm{F}} & = \frac{D}{D+c} \nu \tag{2-7} \end{alignat*}

となり,これを(2-2),(2-3)に代入し,(2-1)を用いて整理する.

\begin{align*} s_{\rm{N}} & = \frac{\nu_{\rm{N}} f}{\nu_{\rm{N}} - f} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu_{\rm{N}}}} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu}\frac{D-c}{D}} \\ & = \frac{f}{1 - f \frac{D-c}{D}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s}\right)} \\ & = \frac{sf^2}{sf - f \frac{D-c}{D}\left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 + \frac{f}{D} c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-8} \end{align*} \begin{align*} s_{\rm{F}} & = \frac{\nu_{\rm{F}} f}{\nu_{\rm{F}} - f} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu_{\rm{F}}}} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu}\frac{D+c}{D}} \\ & = \frac{f}{1 - f \frac{D+c}{D}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s}\right)} \\ & = \frac{sf^2}{sf - f \frac{D+c}{D}\left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - \frac{f}{D} c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-9} \end{align*}

これで被写界深度の前端と後端までの距離\(s_{\rm{N}},s_{\rm{F}}\)が導出された.

被写界深度

実際には,被写界深度の前端と後端までの距離\(s_{\rm{N}},s_{\rm{F}}\)よりも,前方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}}\)と後方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{F}}\)の方が便利であろう.

それらは,

\begin{align*} \rm{DOF}_{\rm{N}} & \equiv s - s_{\rm{N}} \\ & = s - \frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-10} \end{align*} \begin{align*} \rm{DOF}_{\rm{F}} & \equiv s_{\rm{F}} - s \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - F c \left(s - f\right)} - s \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-11} \end{align*}

となる.ところで,だと

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \rm{DOF}_{\rm{N}} & = \frac{Fcs^2}{f^2 + F c s} \\ \rm{DOF}_{\rm{F}} & = \frac{Fcs^2}{f^2 - F c s} \end{alignedat} \right. \tag{2-12} \end{align*}

となり,ここで求めたのとは異なっているが,\(s \gg f\)の近似を施しているのだろう.したがって,マクロレンズなどでは誤差が大きくなると考えられる.

また,一般的な使用方法では\(s > f\)であるので,

\begin{align*} \frac{\rm{DOF}_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}} & = \frac{ \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} }{ \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} } \\ & = \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} < 1 \tag{2-13} \end{align*}

となり,前方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}}\)の方が後方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{F}}\)より短い,つまり後ボケよりも前ボケの方がボケやすいということがわかる.

 

一方,被写界深度\(\rm{DOF}\)は,

\begin{align*} \rm{DOF} & = \rm{DOF}_{\rm{N}} + \rm{DOF}_{\rm{F}} \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} + \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{2f^2 Fcs(s-f)}{f^4 - F^2 c^2 \left(s - f\right)^2} \tag{2-14} \end{align*}

と導出された.

過焦点距離 - Hyperfocal Distance(パンフォーカス)

被写界深度の後端\(s_{\rm{F}}\)が無限遠になるような被写体距離\(H\)を過焦点距離 (Hyperfocal Distance) という.

(2-9)を\(s\)について解くと,

\begin{align*} s & = \frac{s_{\rm{F}} \left( f^2 + Fcf \right)}{f^2 + Fc s_{\rm{F}}} \tag{2-15} \end{align*}

となることから,

\begin{align*} H & = \lim_{s_{\rm{F}} \to \infty} s = \frac{f^2}{Fc} + f \tag{2-16} \end{align*}

と過焦点距離が求められる.この時の被写界深度の前端\(s_{\rm{N}}\)は,

\begin{align*} \left.s_{\rm{N}}\right|_{s=H} & = \left.\frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)}\right|_{s=H} \\ & = \frac{ \left( \frac{f^2}{Fc} + f \right) f^2}{f^2 + F c \left( \left( \frac{f^2}{Fc} + f \right) - f\right)} \\ & = \frac{1}{2} \left(\frac{f^2}{Fc} + f\right) \\ & = \frac{H}{2} \tag{2-17} \end{align*}

となる.

これはとてもわかりやすい.パンフォーカスを得つつ,回折による画質低下を最小にするために\(F\)を最小にした場合(つまり過焦点距離を得たとき),被写体前方の被写界深度は被写体距離\(H\)の半分になるということだ.

3.ボケ量(撮像素子上での錯乱円直径)

被写界深度だけで判断してよいのか?

ここで,一つ疑問が生じる.

「被写界深度だけでボケ量を判断していいのか?」

 

つまりどういうことかというと,「被写体距離から前方(後方)被写界深度の2倍の距離にある物体の像のボケ量は,常に等しい(一定)のか?」という疑問である.

 

これが仮に一定でないと,被写界深度のみではボケ量は語れない,ということになってしまう.

(注意しておくが,画角,被写体距離ともに固定の場合は被写界深度のみで判断して良い.)

 

そこで,被写体距離\(s\)からの距離\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を独立変数とし,焦点距離\(f\),被写体距離\(s\)をパラメタとしたときの撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)を求めてみようと思う.

最後にを\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を前方(後方)被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}},\rm{DOF}_{\rm{F}}\)で無次元化すれば,この疑問が解決できるはずである.

撮像素子上での錯乱円直径

最初に,導出したい関数形を明示しておく.以下のような関数を導出したい.

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = {\rm{Func}} (\varDelta s_{\rm{N}} , s, f) \\ \delta & = {\rm{Func}} (\varDelta s_{\rm{F}} , s, f) \end{alignedat} \right. \tag{3-1} \end{align*}

これは,(2-10),(2-11)を\(c\)について解き,\(\rm{DOF},c\)を\(\varDelta s,\delta\)に置き換えればいいので,撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)は

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s-\varDelta s_{\rm{N}})} \varDelta s_{\rm{N}} \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s+\varDelta s_{\rm{F}})} \varDelta s_{\rm{F}} \end{alignedat} \right. \tag{3-2} \end{align*}

を得る.\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を前方(後方)被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}},\rm{DOF}_{\rm{F}}\)で無次元すると,

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 + F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s- \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right) \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s+ \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right) \end{alignedat} \right. \tag{3-3} \end{align*}

となる.

\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)に比例しないんですね.

結論

(3-3)より自明だが,撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)は\(\varDelta s, s, f\)に依存するため,被写界深度のみでボケ量を判断するのは誤りである.

被写界深度が同じでも,距離とボケ量のグラフ形状は,他のパラメタに依るのである.

したがって,例えば「EF-M18-55mm F3.5-5.6 IS STM」があり,撮影対象の像の大きさが同じになるよう画角を決めたとき,18mm F3.5と55mm F5.6のどちらのほうがボケ量が大きくなるか,という問いに,被写界深度のみで答えることは不可能であることがわかった.

詳細な議論

結論は出たが,少しわかりにくい.

そこで,さらに詳しい議論を

」の「

で行った.

4.まとめ

今回導出した式などをまとめておく.

\begin{gather*} {\rm{DOF}_{\rm{N}}} = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-10} \\ {\rm{DOF}_{\rm{F}}} = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-11} \\ \frac{\rm{DOF}_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}} = \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} < 1 \tag{2-13} \\ {\rm{DOF}} = \frac{2f^2 Fcs(s-f)}{f^4 - F^2 c^2 \left(s - f\right)^2} \tag{2-14} \\ H = \lim_{s_{\rm{F}} \to \infty} s = \frac{f^2}{Fc} + f \tag{2-16} \\ \left.s_{\rm{N}}\right|_{s=H} = \frac{H}{2} \tag{2-17} \\ \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s-\varDelta s_{\rm{N}})} \varDelta s_{\rm{N}} \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s+\varDelta s_{\rm{F}})} \varDelta s_{\rm{F}} \end{alignedat} \right. \tag{3-2} \\ \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 + F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s- \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right) \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s+ \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right) \end{alignedat} \right. \tag{3-3} \end{gather*}

 

 

 

 

 

 

5.導出した式の物理的な解釈

↓ そのうち書く

式の解釈

例えば,f,s,F固定だとcの大きいAPS-Cの方がfullサイズよりも被写界深度が浅くなってしまう.直感に反する.

でも,換算f値が1.6倍となるから,分母のf^2が効いて,同じ画角ならfullの方がボケるよ,みたいな話をまとめる.

APS-Cの方がセンササイズ小さいから,錯乱円直径が同じでも,ボケに換算すると大きくなるのは当たり前だよね.

 

 

6.実機の場合

(EOS M3 + EF-Mレンズ,PowerShot G7 X Mark II)

 

 

↓ そのうち書く

空力2Bみたいな3Dグラフを書く.

横軸焦点距離(離散),縦軸被写体距離,z軸DOF

 

横軸被写体距離で縦軸被写界深度,焦点距離固定,F固定グラフ(gnuplot plot "data.dat" using 1:2:3 with filledcurves fill solid 0.4 的な)

 

EF-M 18-55mm,開放18,55どっちがボケるか検討.

DOFの比較と,被写体距離からの距離のボケ量との比較

つまり,焦点距離が違う場合に,DOFだけで判断していいのか?問題

fが異なるが,対称の像の大きさが同じ場合の,素子上での錯乱円直径の比較

 

 

 

 

 

 

 

7.出典サイト

FUJIFILM. 用語・技術解説. Retrieved August 15, 2017, from http://fujifilm.jp/business/material/cctv/info/techguide/

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