暇な時にちまちま書いていきます...．
次は被写界深度の式やボケ量の式を導出しよう．
被写界深度（DOF）とは，ピントの合ってるようにみえる範囲のことである．これを導出する．
下図のように文字を定義する．
\begin{array}{ccl} \rm{DOF} & : & \text{被写界深度} \\ s & : & \text{被写体距離} \\ \nu & : & \text{レンズ - 撮像素子距離} \\ s - s_{\rm{N}} & : & \text{前方被写界深度} \\ s_{\rm{F}} - s & : & \text{後方被写界深度} \\ \nu_{\rm{N}} - \nu_{\rm{F}} & : & \text{焦点深度} \\ c & : & \text{許容錯乱円直径} \\ D & : & \text{有効口径} \end{array}
とりあえず，手当たり次第使えそうな関係式を幾何的に求めていく．
まずはレンズ公式．
\begin{alignat*}{2} \frac{1}{s} & + & \frac{1}{\nu} & = \frac{1}{f} \tag{2-1} \\ \frac{1}{s_{\rm{N}}} & + & \frac{1}{\nu_{\rm{N}}} & = \frac{1}{f} \tag{2-2} \\ \frac{1}{s_{\rm{F}}} & + & \frac{1}{\nu_{\rm{F}}} & = \frac{1}{f} \tag{2-3} \end{alignat*}さらに，三角形の相似より，
\begin{alignat*}{1} \frac{\nu_{\rm{N}} - \nu}{\nu_{\rm{N}}} & = \frac{c}{D} \tag{2-4} \\ \frac{\nu - \nu_{\rm{F}}}{\nu_{\rm{F}}} & = \frac{c}{D} \tag{2-5} \end{alignat*}を得る．
(2-4),(2-5)を，それぞれ\(\nu_{\rm{N}}, \nu_{\rm{F}}\)について解くと，
\begin{alignat*}{1} \nu_{\rm{N}} & = \frac{D}{D-c} \nu \tag{2-6} \\ \nu_{\rm{F}} & = \frac{D}{D+c} \nu \tag{2-7} \end{alignat*}となり，これを(2-2),(2-3)に代入し，(2-1)を用いて整理する．
\begin{align*} s_{\rm{N}} & = \frac{\nu_{\rm{N}} f}{\nu_{\rm{N}} - f} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu_{\rm{N}}}} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu}\frac{D-c}{D}} \\ & = \frac{f}{1 - f \frac{D-c}{D}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s}\right)} \\ & = \frac{sf^2}{sf - f \frac{D-c}{D}\left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 + \frac{f}{D} c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-8} \end{align*} \begin{align*} s_{\rm{F}} & = \frac{\nu_{\rm{F}} f}{\nu_{\rm{F}} - f} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu_{\rm{F}}}} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu}\frac{D+c}{D}} \\ & = \frac{f}{1 - f \frac{D+c}{D}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s}\right)} \\ & = \frac{sf^2}{sf - f \frac{D+c}{D}\left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - \frac{f}{D} c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-9} \end{align*}これで被写界深度の前端と後端までの距離\(s_{\rm{N}},s_{\rm{F}}\)が導出された．
実際には，被写界深度の前端と後端までの距離\(s_{\rm{N}},s_{\rm{F}}\)よりも，前方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}}\)と後方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{F}}\)の方が便利であろう．
それらは，
\begin{align*} \rm{DOF}_{\rm{N}} & \equiv s - s_{\rm{N}} \\ & = s - \frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-10} \end{align*} \begin{align*} \rm{DOF}_{\rm{F}} & \equiv s_{\rm{F}} - s \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - F c \left(s - f\right)} - s \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-11} \end{align*} \begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \rm{DOF}_{\rm{N}} & = \frac{Fcs^2}{f^2 + F c s} \\ \rm{DOF}_{\rm{F}} & = \frac{Fcs^2}{f^2 - F c s} \end{alignedat} \right. \tag{2-12} \end{align*}となり，ここで求めたのとは異なっているが，\(s \gg f\)の近似を施しているのだろう．したがって，マクロレンズなどでは誤差が大きくなると考えられる．
また，一般的な使用方法では\(s > f\)であるので，
\begin{align*} \frac{\rm{DOF}_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}} & = \frac{ \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} }{ \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} } \\ & = \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} < 1 \tag{2-13} \end{align*}となり，前方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}}\)の方が後方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{F}}\)より短い，つまり後ボケよりも前ボケの方がボケやすいということがわかる．
一方，被写界深度\(\rm{DOF}\)は，
\begin{align*} \rm{DOF} & = \rm{DOF}_{\rm{N}} + \rm{DOF}_{\rm{F}} \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} + \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{2f^2 Fcs(s-f)}{f^4 - F^2 c^2 \left(s - f\right)^2} \tag{2-14} \end{align*}と導出された．
被写界深度の後端\(s_{\rm{F}}\)が無限遠になるような被写体距離\(H\)を過焦点距離 (Hyperfocal Distance) という．
(2-9)を\(s\)について解くと，
\begin{align*} s & = \frac{s_{\rm{F}} \left( f^2 + Fcf \right)}{f^2 + Fc s_{\rm{F}}} \tag{2-15} \end{align*}となることから，
\begin{align*} H & = \lim_{s_{\rm{F}} \to \infty} s = \frac{f^2}{Fc} + f \tag{2-16} \end{align*}と過焦点距離が求められる．この時の被写界深度の前端\(s_{\rm{N}}\)は，
\begin{align*} \left.s_{\rm{N}}\right|_{s=H} & = \left.\frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)}\right|_{s=H} \\ & = \frac{ \left( \frac{f^2}{Fc} + f \right) f^2}{f^2 + F c \left( \left( \frac{f^2}{Fc} + f \right) - f\right)} \\ & = \frac{1}{2} \left(\frac{f^2}{Fc} + f\right) \\ & = \frac{H}{2} \tag{2-17} \end{align*}となる．
これはとてもわかりやすい．パンフォーカスを得つつ，回折による画質低下を最小にするために\(F\)を最小にした場合（つまり過焦点距離を得たとき），被写体前方の被写界深度は被写体距離\(H\)の半分になるということだ．
ここで，一つ疑問が生じる．
「被写界深度だけでボケ量を判断していいのか？」
つまりどういうことかというと，「被写体距離から前方（後方）被写界深度の２倍の距離にある物体の像のボケ量は，常に等しい（一定）のか？」という疑問である．
これが仮に一定でないと，被写界深度のみではボケ量は語れない，ということになってしまう．
（注意しておくが，画角，被写体距離ともに固定の場合は被写界深度のみで判断して良い．）
そこで，被写体距離\(s\)からの距離\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を独立変数とし，焦点距離\(f\)，被写体距離\(s\)をパラメタとしたときの撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)を求めてみようと思う．
最後にを\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を前方（後方）被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}},\rm{DOF}_{\rm{F}}\)で無次元化すれば，この疑問が解決できるはずである．
最初に，導出したい関数形を明示しておく．以下のような関数を導出したい．
\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = {\rm{Func}} (\varDelta s_{\rm{N}} , s, f) \\ \delta & = {\rm{Func}} (\varDelta s_{\rm{F}} , s, f) \end{alignedat} \right. \tag{3-1} \end{align*}これは，(2-10),(2-11)を\(c\)について解き，\(\rm{DOF},c\)を\(\varDelta s,\delta\)に置き換えればいいので，撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)は
\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s-\varDelta s_{\rm{N}})} \varDelta s_{\rm{N}} \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s+\varDelta s_{\rm{F}})} \varDelta s_{\rm{F}} \end{alignedat} \right. \tag{3-2} \end{align*}を得る．\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を前方（後方）被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}},\rm{DOF}_{\rm{F}}\)で無次元すると，
\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 + F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s- \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right) \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s+ \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right) \end{alignedat} \right. \tag{3-3} \end{align*}となる．
\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)に比例しないんですね．
(3-3)より自明だが，撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)は\(\varDelta s, s, f\)に依存するため，被写界深度のみでボケ量を判断するのは誤りである．
被写界深度が同じでも，距離とボケ量のグラフ形状は，他のパラメタに依るのである．
したがって，例えば「EF-M18-55mm F3.5-5.6 IS STM」があり，撮影対象の像の大きさが同じになるよう画角を決めたとき，18mm F3.5と55mm F5.6のどちらのほうがボケ量が大きくなるか，という問いに，被写界深度のみで答えることは不可能であることがわかった．
結論は出たが，少しわかりにくい．
そこで，さらに詳しい議論を
で行った．
今回導出した式などをまとめておく．
\begin{gather*} {\rm{DOF}_{\rm{N}}} = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-10} \\ {\rm{DOF}_{\rm{F}}} = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-11} \\ \frac{\rm{DOF}_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}} = \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} < 1 \tag{2-13} \\ {\rm{DOF}} = \frac{2f^2 Fcs(s-f)}{f^4 - F^2 c^2 \left(s - f\right)^2} \tag{2-14} \\ H = \lim_{s_{\rm{F}} \to \infty} s = \frac{f^2}{Fc} + f \tag{2-16} \\ \left.s_{\rm{N}}\right|_{s=H} = \frac{H}{2} \tag{2-17} \\ \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s-\varDelta s_{\rm{N}})} \varDelta s_{\rm{N}} \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s+\varDelta s_{\rm{F}})} \varDelta s_{\rm{F}} \end{alignedat} \right. \tag{3-2} \\ \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 + F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s- \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right) \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s+ \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right) \end{alignedat} \right. \tag{3-3} \end{gather*}
↓ そのうち書く
式の解釈
例えば，f,s,F固定だとcの大きいAPS-Cの方がfullサイズよりも被写界深度が浅くなってしまう．直感に反する．
でも，換算f値が1.6倍となるから，分母のf^2が効いて，同じ画角ならfullの方がボケるよ，みたいな話をまとめる．
APS-Cの方がセンササイズ小さいから，錯乱円直径が同じでも，ボケに換算すると大きくなるのは当たり前だよね．
（EOS M3 + EF-Mレンズ，PowerShot G7 X Mark II）
↓ そのうち書く
空力2Bみたいな３Dグラフを書く．
横軸焦点距離（離散），縦軸被写体距離，z軸DOF
横軸被写体距離で縦軸被写界深度，焦点距離固定，F固定グラフ（gnuplot plot "data.dat" using 1:2:3 with filledcurves fill solid 0.4 的な）
EF-M 18-55mm，開放18,55どっちがボケるか検討．
DOFの比較と，被写体距離からの距離のボケ量との比較
↑
つまり，焦点距離が違う場合に，DOFだけで判断していいのか？問題
fが異なるが，対称の像の大きさが同じ場合の，素子上での錯乱円直径の比較
| FUJIFILM. 用語・技術解説. Retrieved August 15, 2017, from http://fujifilm.jp/business/material/cctv/info/techguide/ |
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