MENU

溶けかけてるうさぎ HP BLOG TOP RECENT ARTICLES POPULAR ARTICLES ABOUT THIS BLOG

CATEGORY

大学 (85) 航空宇宙 (55) 写真 (25) 旅行 (14) 飯・酒 (11) コンピュータ (88) その他 (13)

TAG

ARCHIVE

2018 (92) 2017 (80) 2016 (0)

RECENT

【駅メモ】4年目に突入して,ようやく3000駅突破 【WebRTC】Raspberry Pi搭載ロボットをWebRTCで遠隔操作しようとして失敗した 【航空宇宙】航空宇宙アドベントカレンダー 始まります! 【Perl】YAPC::Tokyo 2019 のチケットを確保しました! 【カメラ】Canonから富士フイルムに乗り換えました

【幾何光学】前方/後方 被写界深度の導出など

2017-08-29

」の」の続き.

さて,今回は被写界深度の式やボケ量の式を導出しよう.

この記事は書きかけです!!

暇な時にちまちま書いていきます....

1.はじめに

」の」では,F値,露光などの関係式を導出した.

次は被写界深度の式やボケ量の式を導出しよう.

2.被写界深度(DOF)

被写界深度(DOF)とは,ピントの合ってるようにみえる範囲のことである.これを導出する.

文字定義

下図のように文字を定義する.

 

\begin{array}{ccl} \rm{DOF} & : & \text{被写界深度} \\ s & : & \text{被写体距離} \\ \nu & : & \text{レンズ - 撮像素子距離} \\ s - s_{\rm{N}} & : & \text{前方被写界深度} \\ s_{\rm{F}} - s & : & \text{後方被写界深度} \\ \nu_{\rm{N}} - \nu_{\rm{F}} & : & \text{焦点深度} \\ c & : & \text{許容錯乱円直径} \\ D & : & \text{有効口径} \end{array}

関係式導出

とりあえず,手当たり次第使えそうな関係式を幾何的に求めていく.

まずはレンズ公式.

\begin{alignat*}{2} \frac{1}{s} & + & \frac{1}{\nu} & = \frac{1}{f} \tag{2-1} \\ \frac{1}{s_{\rm{N}}} & + & \frac{1}{\nu_{\rm{N}}} & = \frac{1}{f} \tag{2-2} \\ \frac{1}{s_{\rm{F}}} & + & \frac{1}{\nu_{\rm{F}}} & = \frac{1}{f} \tag{2-3} \end{alignat*}

さらに,三角形の相似より,

\begin{alignat*}{1} \frac{\nu_{\rm{N}} - \nu}{\nu_{\rm{N}}} & = \frac{c}{D} \tag{2-4} \\ \frac{\nu - \nu_{\rm{F}}}{\nu_{\rm{F}}} & = \frac{c}{D} \tag{2-5} \end{alignat*}

を得る.

被写界深度の前端,後端距離

(2-4),(2-5)を,それぞれ\(\nu_{\rm{N}}, \nu_{\rm{F}}\)について解くと,

\begin{alignat*}{1} \nu_{\rm{N}} & = \frac{D}{D-c} \nu \tag{2-6} \\ \nu_{\rm{F}} & = \frac{D}{D+c} \nu \tag{2-7} \end{alignat*}

となり,これを(2-2),(2-3)に代入し,(2-1)を用いて整理する.

\begin{align*} s_{\rm{N}} & = \frac{\nu_{\rm{N}} f}{\nu_{\rm{N}} - f} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu_{\rm{N}}}} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu}\frac{D-c}{D}} \\ & = \frac{f}{1 - f \frac{D-c}{D}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s}\right)} \\ & = \frac{sf^2}{sf - f \frac{D-c}{D}\left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 + \frac{f}{D} c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-8} \end{align*} \begin{align*} s_{\rm{F}} & = \frac{\nu_{\rm{F}} f}{\nu_{\rm{F}} - f} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu_{\rm{F}}}} \\ & = \frac{f}{1 - \frac{f}{\nu}\frac{D+c}{D}} \\ & = \frac{f}{1 - f \frac{D+c}{D}\left(\frac{1}{f} - \frac{1}{s}\right)} \\ & = \frac{sf^2}{sf - f \frac{D+c}{D}\left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - \frac{f}{D} c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-9} \end{align*}

これで被写界深度の前端と後端までの距離\(s_{\rm{N}},s_{\rm{F}}\)が導出された.

被写界深度

実際には,被写界深度の前端と後端までの距離\(s_{\rm{N}},s_{\rm{F}}\)よりも,前方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}}\)と後方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{F}}\)の方が便利であろう.

それらは,

\begin{align*} \rm{DOF}_{\rm{N}} & \equiv s - s_{\rm{N}} \\ & = s - \frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-10} \end{align*} \begin{align*} \rm{DOF}_{\rm{F}} & \equiv s_{\rm{F}} - s \\ & = \frac{sf^2}{f^2 - F c \left(s - f\right)} - s \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-11} \end{align*}

となる.ところで,だと

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \rm{DOF}_{\rm{N}} & = \frac{Fcs^2}{f^2 + F c s} \\ \rm{DOF}_{\rm{F}} & = \frac{Fcs^2}{f^2 - F c s} \end{alignedat} \right. \tag{2-12} \end{align*}

となり,ここで求めたのとは異なっているが,\(s \gg f\)の近似を施しているのだろう.したがって,マクロレンズなどでは誤差が大きくなると考えられる.

また,一般的な使用方法では\(s > f\)であるので,

\begin{align*} \frac{\rm{DOF}_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}} & = \frac{ \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} }{ \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} } \\ & = \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} < 1 \tag{2-13} \end{align*}

となり,前方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}}\)の方が後方被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{F}}\)より短い,つまり後ボケよりも前ボケの方がボケやすいということがわかる.

 

一方,被写界深度\(\rm{DOF}\)は,

\begin{align*} \rm{DOF} & = \rm{DOF}_{\rm{N}} + \rm{DOF}_{\rm{F}} \\ & = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} + \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \\ & = \frac{2f^2 Fcs(s-f)}{f^4 - F^2 c^2 \left(s - f\right)^2} \tag{2-14} \end{align*}

と導出された.

過焦点距離 - Hyperfocal Distance(パンフォーカス)

被写界深度の後端\(s_{\rm{F}}\)が無限遠になるような被写体距離\(H\)を過焦点距離 (Hyperfocal Distance) という.

(2-9)を\(s\)について解くと,

\begin{align*} s & = \frac{s_{\rm{F}} \left( f^2 + Fcf \right)}{f^2 + Fc s_{\rm{F}}} \tag{2-15} \end{align*}

となることから,

\begin{align*} H & = \lim_{s_{\rm{F}} \to \infty} s = \frac{f^2}{Fc} + f \tag{2-16} \end{align*}

と過焦点距離が求められる.この時の被写界深度の前端\(s_{\rm{N}}\)は,

\begin{align*} \left.s_{\rm{N}}\right|_{s=H} & = \left.\frac{sf^2}{f^2 + F c \left(s - f\right)}\right|_{s=H} \\ & = \frac{ \left( \frac{f^2}{Fc} + f \right) f^2}{f^2 + F c \left( \left( \frac{f^2}{Fc} + f \right) - f\right)} \\ & = \frac{1}{2} \left(\frac{f^2}{Fc} + f\right) \\ & = \frac{H}{2} \tag{2-17} \end{align*}

となる.

これはとてもわかりやすい.パンフォーカスを得つつ,回折による画質低下を最小にするために\(F\)を最小にした場合(つまり過焦点距離を得たとき),被写体前方の被写界深度は被写体距離\(H\)の半分になるということだ.

3.ボケ量(撮像素子上での錯乱円直径)

被写界深度だけで判断してよいのか?

ここで,一つ疑問が生じる.

「被写界深度だけでボケ量を判断していいのか?」

 

つまりどういうことかというと,「被写体距離から前方(後方)被写界深度の2倍の距離にある物体の像のボケ量は,常に等しい(一定)のか?」という疑問である.

 

これが仮に一定でないと,被写界深度のみではボケ量は語れない,ということになってしまう.

(注意しておくが,画角,被写体距離ともに固定の場合は被写界深度のみで判断して良い.)

 

そこで,被写体距離\(s\)からの距離\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を独立変数とし,焦点距離\(f\),被写体距離\(s\)をパラメタとしたときの撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)を求めてみようと思う.

最後にを\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を前方(後方)被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}},\rm{DOF}_{\rm{F}}\)で無次元化すれば,この疑問が解決できるはずである.

撮像素子上での錯乱円直径

最初に,導出したい関数形を明示しておく.以下のような関数を導出したい.

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = {\rm{Func}} (\varDelta s_{\rm{N}} , s, f) \\ \delta & = {\rm{Func}} (\varDelta s_{\rm{F}} , s, f) \end{alignedat} \right. \tag{3-1} \end{align*}

これは,(2-10),(2-11)を\(c\)について解き,\(\rm{DOF},c\)を\(\varDelta s,\delta\)に置き換えればいいので,撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)は

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s-\varDelta s_{\rm{N}})} \varDelta s_{\rm{N}} \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s+\varDelta s_{\rm{F}})} \varDelta s_{\rm{F}} \end{alignedat} \right. \tag{3-2} \end{align*}

を得る.\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)を前方(後方)被写界深度\(\rm{DOF}_{\rm{N}},\rm{DOF}_{\rm{F}}\)で無次元すると,

\begin{align*} \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 + F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s- \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right) \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s+ \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right) \end{alignedat} \right. \tag{3-3} \end{align*}

となる.

\(\varDelta s_{\rm{N}}, \varDelta s_{\rm{F}}\)に比例しないんですね.

結論

(3-3)より自明だが,撮像素子上での錯乱円直径\(\delta\)は\(\varDelta s, s, f\)に依存するため,被写界深度のみでボケ量を判断するのは誤りである.

被写界深度が同じでも,距離とボケ量のグラフ形状は,他のパラメタに依るのである.

したがって,例えば「EF-M18-55mm F3.5-5.6 IS STM」があり,撮影対象の像の大きさが同じになるよう画角を決めたとき,18mm F3.5と55mm F5.6のどちらのほうがボケ量が大きくなるか,という問いに,被写界深度のみで答えることは不可能であることがわかった.

詳細な議論

結論は出たが,少しわかりにくい.

そこで,さらに詳しい議論を

」の

で行った.

4.まとめ

今回導出した式などをまとめておく.

\begin{gather*} {\rm{DOF}_{\rm{N}}} = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} \tag{2-10} \\ {\rm{DOF}_{\rm{F}}} = \frac{Fcs \left(s - f\right)}{f^2 - F c \left(s - f\right)} \tag{2-11} \\ \frac{\rm{DOF}_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}} = \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{f^2 + F c \left(s - f\right)} < 1 \tag{2-13} \\ {\rm{DOF}} = \frac{2f^2 Fcs(s-f)}{f^4 - F^2 c^2 \left(s - f\right)^2} \tag{2-14} \\ H = \lim_{s_{\rm{F}} \to \infty} s = \frac{f^2}{Fc} + f \tag{2-16} \\ \left.s_{\rm{N}}\right|_{s=H} = \frac{H}{2} \tag{2-17} \\ \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s-\varDelta s_{\rm{N}})} \varDelta s_{\rm{N}} \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)(s+\varDelta s_{\rm{F}})} \varDelta s_{\rm{F}} \end{alignedat} \right. \tag{3-2} \\ \left\{ \begin{alignedat}{1} \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 + F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s- \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{N}}}{\rm{DOF}_{\rm{N}}}\right) \\ \delta & = \frac{f^2}{F(s-f)\left( \frac{f^2 - F c \left(s - f\right)}{Fcs \left(s - f\right)} s+ \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right)\right)} \cdot \left(\frac{\varDelta s_{\rm{F}}}{\rm{DOF}_{\rm{F}}}\right) \end{alignedat} \right. \tag{3-3} \end{gather*}

 

 

 

 

 

 

5.導出した式の物理的な解釈

↓ そのうち書く

式の解釈

例えば,f,s,F固定だとcの大きいAPS-Cの方がfullサイズよりも被写界深度が浅くなってしまう.直感に反する.

でも,換算f値が1.6倍となるから,分母のf^2が効いて,同じ画角ならfullの方がボケるよ,みたいな話をまとめる.

APS-Cの方がセンササイズ小さいから,錯乱円直径が同じでも,ボケに換算すると大きくなるのは当たり前だよね.

 

 

6.実機の場合

(EOS M3 + EF-Mレンズ,PowerShot G7 X Mark II)

 

 

↓ そのうち書く

空力2Bみたいな3Dグラフを書く.

横軸焦点距離(離散),縦軸被写体距離,z軸DOF

 

横軸被写体距離で縦軸被写界深度,焦点距離固定,F固定グラフ(gnuplot plot "data.dat" using 1:2:3 with filledcurves fill solid 0.4 的な)

 

EF-M 18-55mm,開放18,55どっちがボケるか検討.

DOFの比較と,被写体距離からの距離のボケ量との比較

つまり,焦点距離が違う場合に,DOFだけで判断していいのか?問題

fが異なるが,対称の像の大きさが同じ場合の,素子上での錯乱円直径の比較

 

 

 

 

 

 

 

7.関連記事

8.出典サイト

FUJIFILM. 用語・技術解説. Retrieved August 15, 2017, from http://fujifilm.jp/business/material/cctv/info/techguide/

コメントを投稿

名前

Email (※公開されることはありません)

コメント